tiên đề ơ cơ lít

Bách khoa toàn thư há Wikipedia

Hình học

Hình chiếu một phía cầu lên trên bề mặt phẳng lặng.

Bạn đang xem: tiên đề ơ cơ lít

  • Đại cương
  • Lịch sử

Phân nhánh

  • Euclid
  • Phi Euclid
    • Elliptic
      • Cầu
    • Hyperbol
  • Hình học tập phi Archimedes
  • Chiếu
  • Afin
  • Tổng hợp
  • Giải tích
  • Đại số
    • Số học
    • Diophantos
  • Vi phân
    • Riemann
    • Symplectic
  • Phức
  • Hữu hạn
  • Rời rạc
    • Kỹ thuật số
  • Lồi
  • Tính toán
  • Fractal
  • Liên thuộc

Khái niệm

Chiều

  • Phép dựng hình vì thế thước kẻ và compa
  • Đỉnh
  • Đường cong
  • Đường chéo
  • Góc
  • Song song
  • Vuông góc
  • Đối xứng
  • Đồng dạng
  • Tương đẳng

Không chiều

  • Điểm

Một chiều

  • Đường thẳng
    • Đoạn thẳng
    • Tia
  • Chiều dài

Hai chiều

  • Mặt phẳng
  • Diện tích
  • Đa giác
Tam giác
  • Đường cao (tam giác)
  • Cạnh huyền
  • Định lý Pythagoras
Hình bình hành
  • Hình vuông
  • Hình chữ nhật
  • Hình thoi
  • Rhomboid
Tứ giác
  • Hình thang
  • Hình diều
Đường tròn
  • Đường kính
  • Chu vi
  • Diện tích

Ba chiều

  • Thể tích
  • Khối lập phương
    • Hình vỏ hộp chữ nhật
  • Hình trụ tròn
  • Hình chóp
  • Mặt cầu

Bốn chiều / số chiều khác

  • Tesseract
  • Siêu cầu
Nhà hình học

theo tên

  • Aida
  • Aryabhata
  • Ahmes
  • Alhazen
  • Apollonius
  • Archimedes
  • Atiyah
  • Baudhayana
  • Bolyai
  • Brahmagupta
  • Cartan
  • Coxeter
  • Descartes
  • Euclid
  • Euler
  • Gauss
  • Gromov
  • Hilbert
  • Jyeṣṭhadeva
  • Kātyāyana
  • Khayyám
  • Klein
  • Lobachevsky
  • Manava
  • Minkowski
  • Minggatu
  • Pascal
  • Pythagoras
  • Parameshvara
  • Poincaré
  • Riemann
  • Sakabe
  • Sijzi
  • al-Tusi
  • Veblen
  • Virasena
  • Yang Hui
  • al-Yasamin
  • Trương Hành

theo giai đoạn

trước Công nguyên
  • Ahmes
  • Baudhayana
  • Manava
  • Pythagoras
  • Euclid
  • Archimedes
  • Apollonius
1–1400s
  • Trương Hành
  • Kātyāyana
  • Aryabhata
  • Brahmagupta
  • Virasena
  • Alhazen
  • Sijzi
  • Khayyám
  • al-Yasamin
  • al-Tusi
  • Yang Hui
  • Parameshvara
1400s–1700s
  • Jyeṣṭhadeva
  • Descartes
  • Pascal
  • Minggatu
  • Euler
  • Sakabe
  • Aida
1700s–1900s
  • Gauss
  • Lobachevsky
  • Bolyai
  • Riemann
  • Klein
  • Poincaré
  • Hilbert
  • Minkowski
  • Cartan
  • Veblen
  • Coxeter
Ngày nay
  • Atiyah
  • Gromov
  • x
  • t
  • s
Hình vẽ minh họa mang lại tuyên bố gốc của Euclid về định đề tuy vậy tuy vậy.

Trong hình học tập, định đề tuy vậy song (tiếng Anh: parallel postulate) hoặc định đề loại năm của Euclid bởi là tiên đề loại năm vô cuốn Trung tâm của Euclid, là 1 định đề vô hình học tập Euclid. Nội dung của định đề này như sau:

Nếu một quãng trực tiếp rời hai tuyến đường trực tiếp không giống nhưng mà đưa đến nhị góc ở và một phía với tổng số đo nhỏ thêm hơn nhị góc vuông, hai tuyến đường trực tiếp ê nếu như kéo dãn rời khỏi tiếp tục rời nhau bên trên phía với nhị góc với tổng số đo nhỏ rộng lớn nhị góc vuông ê.

Mệnh đề này sẽ không kể thẳng cho tới những đường thẳng liền mạch tuy vậy tuy vậy, nhưng mà kể từ ê dẫn cho tới sự tuy vậy song của những đàng thẳng[1]. Euclid đã mang rời khỏi khái niệm về những đường thẳng liền mạch tuy vậy song vô câu loại 23[2] - cuốn 1 của cuốn sách Trung tâm, ngay lập tức trước lúc kể cho tới 5 định đề hình học[3].

Năm định đề nhưng mà định đề loại năm được kể vô nội dung bài viết này là hạ tầng mang lại hình học tập Euclid - ngành hình học tập mặc cả 5 định đề đều đích thị nhưng mà vô ê với định đề tuy vậy song này. Một thời hạn nhiều năm, người tao nhận định rằng mệnh đề này là rõ ràng và không nhất thiết phải chứng tỏ, một trong những phần cũng bởi sự thất bại của những căn nhà toán học tập trong những việc chứng tỏ nó. Tuy nhiên, với một vài căn nhà toán học tập vẫn lắc đầu định đề này - kể từ ê thể hiện những thể mô hình học tập mới mẻ nhưng mà được gọi cộng đồng là hình học tập phi Euclid. Cũng với cùng một nhánh của hình học tập nhưng mà ở ê chỉ quan hoài cho tới tứ định đề thứ nhất của Euclid được gọi là hình học tập vô cùng (absolute geometry) hoặc hình học tập trung lập (neutral geometry).

Các mệnh đề tương đương[sửa | sửa mã nguồn]

Tiên đề này còn có vô số phương pháp tuyên bố không giống nhau tương tự về mặt mày Toán học tập, và 1 trong số này đó là định đề của Playfair, được gọi là ở trong phòng toán học tập người Scotland John Playfair, tuyên bố như sau:

Trong mặt mày phẳng lặng, qua loa một đường thẳng liền mạch và một điểm ko nằm trong đường thẳng liền mạch mang lại trước, hoàn toàn có thể kẻ một và có một đường thẳng liền mạch trải qua điểm và tuy vậy song với đường thẳng liền mạch mang lại trước[4].

Tiên đề này phiên bản thân thích nó ko tương tự về mặt mày logic với vẹn toàn phiên bản của Euclid - Lúc nhưng mà với những mô hình học tập nhưng mà định đề này đích thị, với vài ba loại thì ko. Tuy nhiên, nếu như tao xét cho tới hình học tập Euclid, định đề này hoàn toàn có thể được dùng nhằm chứng tỏ định đề còn sót lại - kể từ ê xuất hiện ý nghĩa sâu sắc tương tự vô hình học tập tuyệt đối[5].

Xem thêm: tam giác abc vuông tại a

Có nhiều mệnh đề không giống tương tự với định đề tuy vậy song và đã được lời khuyên, một vài ba vô số bọn chúng nhìn dường như ko tương quan cho tới sự tuy vậy song lắm, một vài ba lại theo gót vòng lặp Lúc nhận định rằng định đề này là đích thị và nỗ lực chứng tỏ định đề này bằng phương pháp dùng fake thuyết ê một cơ hội vô thức. Các mệnh đề được lời khuyên hoàn toàn có thể kể đến:

  1. Luôn với cùng một và có một đường thẳng liền mạch hoàn toàn có thể kẻ tuy vậy song với đường thẳng liền mạch vẫn mang lại, trải qua một điểm ko nằm trong đường thẳng liền mạch này được mang lại trước - định đề của Playfair.
  2. Tổng tía góc của từng tam giác đều vì thế 180° - định đề tam giác (tiếng Anh: Triangle postulate)
  3. Luôn tồn bên trên một tam giác với tổng tía góc vì thế 180°.
  4. Tổng những góc vào cụ thể từng tam giác luôn luôn cân nhau.
  5. Tồn bên trên một cặp tam giác đồng dạng tuy nhiên ko tương đẳng cùng nhau.
  6. Tam giác bất kì luôn luôn nội tiếp một đàng tròn trặn.
  7. Nếu tía góc của một tứ giác là góc vuông, góc còn sót lại cũng chính là góc vuông.
  8. Tồn bên trên một hình bình hành với toàn bộ những góc là góc vuông, được gọi là hình chữ nhật.
  9. Tồn bên trên một cặp đường thẳng liền mạch luôn luôn tồn bên trên khoảng cách cùng nhau, với nhị điểm bất kì theo thứ tự nằm trong hai tuyến đường trực tiếp ê.
  10. Hai đường thẳng liền mạch nằm trong tuy vậy song với cùng một đường thẳng liền mạch thì tuy vậy song cùng nhau.
  11. Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền vì thế tổng bình phương nhị cạnh góc vuông - toan lý Py-ta-go.[6] [7]
  12. Định lý cos là tình huống tổng quát mắng của toan lý Pythagoras.
  13. Diện tích của một tam giác không tồn tại số lượng giới hạn - định đề của Wallis[8]
  14. Hai góc lòng của tứ giác Saccheri luôn luôn vì thế 90°.
  15. Nếu một đường thẳng liền mạch rời 1 trong hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy song cùng nhau và tía đường thẳng liền mạch này đồng phẳng lặng, thì đường thẳng liền mạch này sẽ rời đường thẳng liền mạch tuy vậy song còn sót lại - định đề của Proclus[9].

Dù vậy, những mệnh đề chứa chấp kể từ "song song" xuất hiện tại vô mệnh đề ê đơn giản và giản dị rộng lớn cơ hội khái niệm cơ phiên bản của Euclid vô câu 30 của cuốn loại Nhất - Trung tâm của tớ, thông thường là: luôn luôn trực tiếp với khoảng cách cùng nhau - ko lúc nào rời nhau - nằm trong đưa đến một góc nếu như nằm trong được rời vì thế một đường thẳng liền mạch loại tía. Lấy ví dụ với định đề của Playfair, Lúc ông khái niệm sự tuy vậy song là sự hai tuyến đường trực tiếp luôn luôn với khoảng cách cùng nhau hoặc nằm trong góc Lúc rời vì thế một đường thẳng liền mạch không giống, kể từ ê không thể tương tự với định đề loại năm của Euclid nữa - Lúc hoàn toàn có thể chứng tỏ dùng tứ định đề thứ nhất. Chú ý rằng những cơ hội khái niệm này sẽ không tương tự trọn vẹn cùng nhau, Lúc vô hình học tập hyperbol với cho tới nhị khái niệm về việc tuy vậy song của những đường thẳng liền mạch.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Từ ban sơ, người tao nhận định rằng phía trên ko cần là 1 định đề Lúc nó hoàn toàn có thể chứng tỏ được, và vô trong cả nhị ngàn năm, với thật nhiều nỗ lực của những căn nhà toán học tập trong những việc dùng tứ định đề thứ nhất và những hệ trái ngược của chính nó nhằm xử lý vấn đề[10]. Lý bởi mang lại những sự nỗ lực này là vì thế, rất khác với tứ định đề thứ nhất, định đề tuy vậy song này nhìn ko rõ ràng lắm. Dù mang lại nhiều nỗ lực và đã được ném ra, với một vài chứng tỏ được nghĩ rằng đích thị cho đến Lúc những sai lầm không mong muốn được chỉ ra rằng, với lỗi sai phổ cập nhất thông thường là quá nhận những mệnh đề tương tự với định đề cần thiết chứng tỏ, ví như định đề của Playfair là đích thị. Tiên đề này cũng sẽ được John Playfair đòi hỏi thay cho thế vẹn toàn phiên bản của Euclid vô một điều phản hồi có tiếng về Euclid vô năm 1795, song cho đến ni, định đề này vẫn là 1 định đề ko thể chứng tỏ.

Proclus (410-485) vẫn phản hồi về cuốn sách Trung tâm rằng ông đã và đang test chứng tỏ nhằm kể từ ê rút gọn gàng tiên đề loại năm trải qua tứ định đề thứ nhất, cũng chỉ ra rằng Ptolemy đã mang rời khỏi một chứng tỏ sai, song ông cũng ko khá rộng lớn là bao. Tuy nhiên, ông đã và đang tuyên bố được một mệnh đề tương tự với định đề này.

Ibn al-Haytham hoặc Alhazen (965-1039), một căn nhà toán học tập người Ả Rập vẫn nỗ lực chứng tỏ tiên đề này vì thế phản chứng[11], việc này vẫn vô tình gom ông thể hiện định nghĩa về những quy tắc dời hình vô hình học[12]. Ông cũng thể hiện khái niệm về tứ giác Lambert, nhưng mà sau này được Boris Abramovich Rozenfeld gọi là là "tứ giác Ibn-al-Haytham-Lambert"[13], và sự chứng tỏ của ông cũng dùng những nguyên tố vô tứ giác Lambert và định đề của Playfair[14].

Nhà toán học tập người Ba Tư Omar Khayyám (1050-1123) đã và đang test thể hiện chứng tỏ bằng sự việc chứng tỏ một mệnh đề tương tự động được thể hiện trải qua tứ mệnh đề ban đầu: "Hai đường thẳng liền mạch quy tụ tiếp tục rời nhau, và ko thể khiến cho hai tuyến đường trực tiếp phân kì ở phía nhưng mà bọn chúng hội tụ[15]". Ông đã và đang thể hiện được những sản phẩm nhưng mà trong tương lai thuộc sở hữu hình học tập elliptic và hình học tập hyperbol, tuy nhiên tiên đề nhưng mà ông dùng đựng nhiều sự mâu thuẫn[16]. Ông ko nỗ lực chứng tỏ định đề tuy vậy song giống như các căn nhà toán học tập lên đường trước và lên đường sau ông (mà vô ê với Giovanni Girolamo Saccheri), tuy nhiên cũng phân phát sinh ra rằng nếu như hai tuyến đường trực tiếp nằm trong vuông góc với cùng một đường thẳng liền mạch nhưng mà rời một đường thẳng liền mạch không giống tuy vậy song với đường thẳng liền mạch được rời. Nếu như nhị góc vừa được tạo nên trở nên là góc vuông, tao chiếm được định đề loại năm của Euclid, tuy nhiên còn nếu như không cần, nhị góc ê hoặc nằm trong nhọn hoặc nằm trong tù. Khayyam vẫn cho là nhị tình huống này tiếp tục dẫn cho tới những sự xích míc chiếu theo gót định đề ông đưa ra, song định đề của ông ko tương tự với định đề của Euclid.

Mô miêu tả mang lại định đề tuy vậy song của Euclid - phiên phiên bản của Playfair trong những hệ hình học tập không giống nhau: Euclid (1) - - Elliptic (2) và Hyperbol (3)

Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274) vô cuốn "Al-risala al-shafiya'an al-shakk fi'l-khutut al-mutawaziya" (Luận về những yếu tố của những đường thẳng liền mạch tuy vậy song - ghi chép năm 1250) đã mang rời khỏi những điều phê bình về định đề tuy vậy song và những nỗ lực chứng tỏ của Khayyam rộng lớn một thế kỉ trước[17]. Nasir đã và đang test chứng tỏ định đề này vì thế phản hội chứng, và xét những tình huống nhưng mà thời buổi này là hình học tập elliptic/hyperbolic cho dù ko tin yêu những tình huống này hoàn toàn có thể xảy ra[16].Con trai của ông, Sadr al-Din (được biết cho tới là Pseudo-Tusi) đã và đang ghi chép một cuốn sách về chủ thể này vô năm 1298 dựa vào những tâm trí trong tương lai của những người thân phụ - cuốn sách đã mang rời khỏi một trong mỗi tranh giành cãi nhanh nhất về hình học tập phi Euclid trong những việc với cùng một mệnh đề tương tự với định đề tuy vậy tuy vậy. Ông vẫn sửa thay đổi kha khá khối hệ thống định đề và mệnh đề của Euclid, đi kèm theo với này đó là thể hiện những chứng tỏ mới mẻ và không giống đối với vẹn toàn phiên bản cuốn sách Cơ sở[18][19]. Những phân tích này của Sadr al-Din được chuyến thứ nhất công khai minh bạch ở Rome vô năm 1594 và được những căn nhà hình học tập châu Âu nối tiếp trượt sung[18], cũng thêm phần gom Saccheri hợp tác vào việc này nhưng mà sau cuối thể hiện được những phản biện vô lý luận của Sadr và tiếp sau đó thao tác với Wallis[20].

Giordano Vitale (1633-1711) vô cuốn sách Euclide restituo (Tái dựng Euclid, 1680, 1686) của tớ vẫn dùng tứ giác Saccheri nhằm chứng tỏ rằng nếu như với 3 điểm bên trên nhị cạnh AB và CD cơ hội đều nhau, thì từng điểm bên trên hai tuyến đường trực tiếp này cơ hội đều nhau. Girolamo Saccheri (1667-1733) đã và đang theo gót xua chứng tỏ tương tự động, vẫn vô tình chứng tỏ được mệnh đề này đích thị từ 1 tình huống sai tuy nhiên ko thể chứng tỏ vô tình huống tổng quát mắng.

Năm 1766, Johann Heinrich Lambert vẫn ghi chép cuốn Theorie der Parallellinien (Lý thuyết của việc tuy vậy song) tuy nhiên ko xuất phiên bản, nhưng mà ở vô ê ông - kiểu như với Saccheri vẫn cố chứng tỏ định đề loại năm này. Ông dùng đối tượng người dùng nhưng mà thời buổi này tao gọi là tứ giác Lambert - một tứ giác với tía góc vuông. Lambert nhanh gọn loại trừ kỹ năng rằng góc loại tư còn sót lại cần vuông, kể từ ê tiếp cận nhiều toan lý sau khoản thời gian coi góc còn sót lại nhọn hoặc tù. Không kiểu như với Saccheri, ông ko lúc nào cảm nhận thấy phiên bản thân thích tôi đã vấp được vô sự phi lí của phản hội chứng Lúc lên đường theo phía này, tuy nhiên đã và đang chứng tỏ vô hình học tập phi Euclid rằng tổng tía góc vô một tam giác tăng nếu mà diện tích S tam giác ê rời - kể từ ê tiếp cận phỏng đoán về kỹ năng tồn bên trên một quy mô toán học tập mới mẻ, song ko trả phát minh này ra đi hơn[21].

Khi nhưng mà những phía lên đường của Khayyam hoặc Saccheri trong những việc chứng tỏ định đề loại năm của Euclid trải qua việc bác bỏ quăng quật kỹ năng độc nhất hoàn toàn có thể xẩy ra, thế kỉ IXX tận mắt chứng kiến việc những căn nhà toán học tập vẫn thám thính rời khỏi những kỹ năng mới mẻ và thấy rằng yếu tố này hoàn toàn có thể nằm tại sự thiếu thốn nhất quán về mặt mày logic. Trong năm 1829, Nikolai Ivanovich Lobachevsky công phụ thân phân tích của tớ về một mô hình học tập mới mẻ bên trên một tập san giờ đồng hồ Nga, trong tương lai được tái ngắt công phụ thân lại vì thế giờ đồng hồ Đức năm 1840. Năm 1831, János Bolyai vẫn bổ sung cập nhật thêm vô cuốn sách bởi thân phụ ông ghi chép một phụ lục về hình học tập hyperbol - hoặc phát biểu Theo phong cách không giống ông và Lobachevsky đang được nằm trong cải tiến và phát triển một phát minh một cơ hội song lập cùng nhau. Carl Friedrich Gauß cũng phân tích yếu tố này tuy nhiên ko công phụ thân bất kể sản phẩm này. Sau Lúc có được thư của những người thân phụ của Bolyai - Farkas Bolyai nói đến sản phẩm phân tích của Bolyai, ông vẫn đáp lại rằng:

Nếu tôi phát biểu ngay lập tức rằng tôi ko thể ca ngợi dự án công trình này, có lẽ rằng ông sẽ rất cần bất thần lắm, tuy nhiên tôi thiệt sự ko thể. Nếu tôi ca ngợi dự án công trình này, chằng khác gì tôi đang được mệnh danh chủ yếu bản thân cả. Xuyên trong cả nội dung của phiên bản phân tích này, những điều nhưng mà nam nhi ông đã thử được và những sản phẩm cậu ấy vẫn rút rời khỏi được, nó gần như là kiểu như với những gì tôi vẫn tâm trí và thể hiện, điều vẫn luôn luôn khiến cho tôi hiện tượng đau đầu vô trong cả tía mươi - tía mươi lăm năm qua[22].

Các mô hình học tập hệ trái ngược được cải tiến và phát triển trong tương lai vì thế Lobachevsky, Riemann và Henri Poincaré bao gồm với hình học tập hyperbol (trong tình huống góc còn sót lại nhọn) và hình học tập elliptic (trong tình huống góc còn sót lại tù). Sự song lập với định đề tuy vậy song của Euclid với những định đề không giống chuyến thứ nhất được thể hiện tại vì thế Eugenio Beltrami vô năm 1868.

Hệ quả[sửa | sửa mã nguồn]

Euclid ko hề rút rời khỏi được những hệ trái ngược hoặc toan lý hòn đảo mang lại định đề loại năm của ông, này cũng là 1 vô số những nguyên nhân nhằm hoàn toàn có thể phân biệt hình học tập Euclid với hình học tập elliptic. Sở Trung tâm cũng có thể có một chứng tỏ mang lại mệnh đề về việc tuy vậy song:

Nếu một đường thẳng liền mạch rời hai tuyến đường trực tiếp vẫn rời nhau đưa đến nhị góc sánh le cân nhau, thì đường thẳng liền mạch ê tuy vậy song với 1 trong hai tuyến đường trực tiếp ban đầu - Euclid, Mệnh đề 27[23], cuốn I - Trung tâm.

Sau này Lúc được Augustus De Morgan[24]chỉ rời khỏi, người tao thấy rằng mệnh đề này tương tự về mặt mày logic với:

Trong tam giác bất kì, nếu như một cạnh của tam giác to hơn cả nhị cạnh còn sót lại, thì góc đối lập của cạnh này cũng tiếp tục to hơn nhị góc còn sót lại. - Euclid, Mệnh đề 16[25], cuốn I - Trung tâm.

Xem thêm: kể về một lần mắc lỗi

Hai mệnh đề này trọn vẹn ko tùy thuộc vào định đề loại năm, tuy nhiên lại cần thiết nền tảng là định đề loại nhị, điều này khiến cho nhị mệnh đề này sai vô hình học tập elliptic.

Luôn hoàn toàn có thể kéo dãn một quãng trực tiếp vô hạn về cả nhị phía đầu mút - Euclid, Tiên đề 2[26], cuốn I - Trung tâm.

Chỉ trích[sửa | sửa mã nguồn]

Các nỗ lực nhằm chứng tỏ định đề này một cơ hội logic bị chỉ trích vì thế Arthur Schopenhauer vô cuốn The World as Will and Representation của ông. Tuy nhiên, sự chỉ trích này vì thế Schopenhauer triệu tập vô việc định đề này luôn luôn trực tiếp đích thị và không nhất thiết phải chứng tỏ, ko cần là vì với sự tuần tự động thông trong cả về mặt mày logic đối với những định đề khác[27].

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Euclid
  • Hình học tập Euclid và hình học tập phi Euclid
  • Cơ sở

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ “Wayback Machine” (PDF). web.archive.org. 2 mon hai năm 2017. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 2 mon hai năm 2017. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  2. ^ “Euclid's Elements, Book I, Definition 23”. aleph0.clarku.edu. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  3. ^ “Euclid's Elements, Book I”. aleph0.clarku.edu. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  4. ^ “Euclid's Elements, Book I, Proposition 30”. aleph0.clarku.edu. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  5. ^ Henderson, David W. (2005). Experiencing geometry : Euclidean and non-Euclidean with history. Daina Taimin̦a (ấn phiên bản 3). Upper Saddle River, N.J.: Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-143748-8. OCLC 55518440.
  6. ^ Weisstein, Eric W. (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (ấn phiên bản 2). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-347-2. OCLC 50252094.
  7. ^ Pruss, Alexander R. (2006). The principle of sufficient reason : a reassessment. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85959-2. OCLC 228144795.
  8. ^ “Euclid's Fifth Postulate”. www.cut-the-knot.org. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  9. ^ Weisstein, Eric W. “Proclus' Axiom”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  10. ^ Euclid (1956). The thirteen books of Euclid's Elements. Thomas Little, Sir Heath . New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60088-2. OCLC 355237.
  11. ^ Katz, Victor J. (1998). A history of mathematics : an introduction (ấn phiên bản 2). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 0-321-01618-1. OCLC 38199387.
  12. ^ Katz, Victor J. (1998). A history of mathematics : an introduction (ấn phiên bản 2). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 0-321-01618-1. OCLC 38199387.
  13. ^ Rozenfelʹd, B. A. (1988). A history of non-Euclidean geometry : evolution of the concept of a geometric space. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-6449-1. OCLC 15550634.
  14. ^ “A JSTOR Time Line”, JSTOR, Princeton: Princeton University Press, tr. XXVII–XXXVI, 31 mon 12 năm 2012, truy vấn ngày 8 mon 11 năm 2022
  15. ^ Encyclopedia of the history of Arabic science. Rushdī. Rāshid, Régis Morelon. London: Routledge. (2000 printing). ISBN 0-415-02063-8. OCLC 34731151. Quản lý CS1: không giống (liên kết)
  16. ^ a b “Arabic nautical science”, Encyclopedia of the History of Arabic Science, Routledge, tr. 216–256, 8 mon 8 năm 2019, truy vấn ngày 8 mon 11 năm 2022
  17. ^ Katz, Victor J. (1998). A history of mathematics : an introduction (ấn phiên bản 2). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 0-321-01618-1. OCLC 38199387.
  18. ^ a b Katz, Victor J. (1998). A history of mathematics : an introduction (ấn phiên bản 2). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 0-321-01618-1. OCLC 38199387.
  19. ^ “Arabic nautical science”, Encyclopedia of the History of Arabic Science, Routledge, tr. 216–256, 8 mon 8 năm 2019, truy vấn ngày 8 mon 11 năm 2022
  20. ^ “Giovanni Saccheri - Biography”. Maths History (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  21. ^ “Johann Heinrich Lambert - Biography”. Maths History (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  22. ^ Faber, Richard L. (1983). Foundations of Euclidean and non-Euclidean geometry. Thành Phố New York. ISBN 0-8247-1748-1. OCLC 8953706.
  23. ^ “Euclid's Elements, Book I, Proposition 27”. aleph0.clarku.edu. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  24. ^ Heath, T.L., The thirteen books of Euclid's Elements, Vol.1, Dover, 1956, pg.309.
  25. ^ “Euclid's Elements, Book I, Proposition 16”. aleph0.clarku.edu. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  26. ^ “Euclid's Elements, Book I, Postulate 2”. aleph0.clarku.edu. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  27. ^ https://www.gutenberg.org/files/40097/40097-pdf.pdf