chứng minh 2 tam giác đồng dạng

Phương pháp chứng tỏ nhị tam giác đồng dạng và phần mềm.

gia su toan lop 8 - nhị tam giac dong dang

Bạn đang xem: chứng minh 2 tam giác đồng dạng

các tình huống đồng dạng của tam giác thông thường :

Trường phù hợp đồng dạng 1 : 3 cạnh ứng tỉ trọng với nhau (c – c – c)

xét ∆ABC và ∆DEF, tao đem :

\frac{AB}{DE} =\frac{AC}{DF} =\frac{BC}{EF}

=> ∆ABC ~ ∆DEF (c – c – c)

Trường phù hợp đồng dạng 2 : 2 cạnh ứng tỉ trọng cùng nhau – góc xen đằm thắm nhị cạnh vì thế nhau(c – g – c)

xét ∆ABC và ∆DEF, tao đem :

\frac{AB}{DE} =\frac{AC}{DF}

\widehat{A}=\widehat{D}

=> ∆ABC ~ ∆DEF (c – g – c)

Trường phù hợp đồng dạng 3 : nhị góc ứng vì thế nhau(g – g)

xét ∆ABC và ∆DEF, tao đem :

\widehat{A}=\widehat{D}

\widehat{B}=\widehat{E}

=> ∆ABC ~ ∆DEF (g – g)

II > Các quyết định lí đồng dạng của nhị tam giác vuông

1. Định lí 1 : (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỉ trọng với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác cơ thì nhị tam giác đồng dạng.
2. Định lí 2 : (hai cạnh góc vuông)
Nếu nhị cạnh góc vuông của tam giác này tỉ trọng với nhị cạnh góc vuông của tam giác cơ thì nhị tam giác đồng dạng.
3. Định lí 3 : ( góc)
Nếu góc nhọn của tam giác này vì thế góc nhọn của tam giác cơ thì nhị tam giác đồng dạng.

giải bài bác luyện :

Dạng 1 : chứng tỏ nhị tam giác đồng dạng – hệ thức :


Bài toán 1 :

cho ∆ABC (AB < AC), đem AD là lối phân giác vô. Tại miền ngoài ∆ABC vẽ tia Cx sao cho \widehat{BCx}=\widehat{BAD} . Gọi I là uỷ thác điểm của Cx và AD. cmr :

a) ∆ADB đồng dạng ∆CDI.

b) \frac{AD}{AC} =\frac{AB}{AI}

c) AD2 = AB.AC – BD.DC

GIẢI.

a)∆ADB và ∆CDI , tao đem :gia su toan lop 8 - tam giac dong dang

\widehat{BCx}=\widehat{BAD} (gt)

\widehat{D_1}=\widehat{D_2} (đối đỉnh)

=> ∆ADB ~ ∆CDI

b) )∆ABD và ∆AIC , tao đem :

\widehat{B}=\widehat{I} (∆ADB ~ ∆CDI)

\widehat{A_1}=\widehat{A_2} (AD là phân giác)

=> ∆ABD ~ ∆AIC

=>\frac{AD}{AC} =\frac{AB}{AI}

c)=> AD.AI = AB.AC (1)

mà : \frac{AD}{CD} =\frac{BD}{DI}  (∆ADB ~ ∆CDI )

=> AD.DI = BD.CD (2)

từ (1) và (2) :

AB.AC – BD.CD = AD.AI – AD.DI = AD(AI – DI ) = AD.AD = AD2


bài toán 2 :

Cho tam giác ABC vuông bên trên A, đem lối cao AH . chứng tỏ những hệ thức :

  1. AB2 = BH.BC và AC2 = CH.BC
  2. AB2 +AC2 = BC2
  3. AH2 = BH.CH
  4. AH.BC = AB.AC

Giải.

hai tam giac vuong dong dang

gia su toan lop 8

1. AC2 = CH.BC :

Xét nhị ∆ABC và ∆ HAC, tao đem :

\widehat{BAC} =\widehat{ AHC} =90^0

\widehat{C} là góc cộng đồng.

=> ∆ABC ~ ∆HAC (g – g)

=> \frac{AC}{HC}=\frac{BC}{AC}

=> AC2 = CH.BC (1)

Cmtt : AB2 = BH.BC (2)

2. AB2 +AC2 = BC2

Từ (1) và (2), tao đem :

AB2 +AC2 = BH.BC + CH.BC = (BH + CH)BC = BC2

3.AH2 = BH.CH :

Xét nhị ∆HBA và ∆ HAC, tao đem :

\widehat{BHC} =\widehat{ AHC} =90^0

\widehat{ABH} =\widehat{ HAC}  cùng phụ \widehat{BAH}

=> ∆HBA ~ ∆HAC (g – g)

Xem thêm: văn tả công viên lớp 5

=> \frac{HA}{HC}=\frac{HB}{HA}

=> AH2 = BH.CH

4. AH.BC = AB.AC :

Ta đem : \frac{HA}{AB}=\frac{AC}{BC} (∆ABC ~ ∆HAC)

=> AH.BC = AB.AC.


Dạng 2 : chứng tỏ nhị tam giác đồng dạng – quyết định lí talet + hai tuyến phố trực tiếp tuy nhiên song :

bài toán :

Cho ∆ABC nhọn. kẻ lối cao BD và CE. vẽ những lối cao DF và EG của ∆ADE. Chứng minh :

a) ∆ABD đồng dạng ∆AEG.

b) AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) FG // BC

GIẢI.

a) xét ∆ABD và ∆AEG, tao đem :gia su toan lop 8 - tam giac dong dang dinh thự li talet

BD \bot  AC (BD là lối cao)

EG \bot  AC (EG là lối cao)

=> BD // EG

=> ∆ABD ~ ∆AGE

b) => \frac{AB}{AE} =\frac{AD}{AG}

=> AD.AE = AB.AG (1)

cmtt, tao được : AD.AE = AC.AF (2)

từ (1) và (2) suy đi ra :

AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) xét ∆ABC, tao đem :

AB.AG = AC.AF (cmt)

\frac{AB}{AF} =\frac{AC}{AG}

=> FG // BC (định lí hòn đảo talet)


Dạng 3 : chứng tỏ nhị tam giác đồng dạng – góc ứng đều nhau :

bài toán :

Cho ∆ABC đem những lối cao BD và CE rời nhau bên trên H. Chứng minh :

a) ∆HBE đồng dạng ∆HCE.

b) ∆HED đồng dạng ∆HBC và \widehat{HDE}=\widehat{HAE}

c) cho thấy thêm BD = CD. Gọi M là uỷ thác điểm của AH và BC. chứng tỏ : DE vuông góc EM.

GIẢI.

a)xét ∆HBE và ∆HCD, tao đem :gia su toan lop 8 - nhị tam giac dong dang - goc bang nhau

\widehat{BEH}=\widehat{CDH}=90^0 (gt)

\widehat{H_1}=\widehat{H_2} (đối đỉnh)

=> ∆HBE ~ ∆HCD (g – g)

b) ∆HED và ∆HBC, tao đem :

\frac{HE}{HD} =\frac{HB}{HC} (∆HBE ~ ∆HCD)

=>\frac{HE}{HB} =\frac{HD}{HC}

\widehat{EHD}=\widehat{CHB} (đối đỉnh)

=> ∆HED ~ ∆HBC (c – g – c)

=> \widehat{D_1}=\widehat{C_1} (1)

mà : lối cao BD và CE rời nhau bên trên H (gt)

=> H là trực tâm.

=> AH \bot  BC bên trên M.

=>\widehat{A_1}+\widehat{ABC}=90^0

mặt không giống : \widehat{C_1}+\widehat{ABC}=90^0

=>\widehat{A_1}=\widehat{C_1} (2)

từ (1) và (2) : \widehat{A_1}=\widehat{D_1}

hay : \widehat{HDE}=\widehat{HAE}

c) cmtt câu b, tao được : \widehat{A_2}=\widehat{E_2} (3)

xét ∆BCD, tao đem :

DB = DC (gt)

=> ∆BCD cân nặng bên trên D

=>\widehat{B_1}=\widehat{ACB}

mà : \widehat{B_1}=\widehat{E_1} (∆HED ~ ∆HBC)

=> \widehat{E_1}=\widehat{ACB}

mà : \widehat{A_2}+\widehat{ACB}=90^0

\widehat{A_2}=\widehat{E_2} (cmt)

Xem thêm: mẫu hợp đồng thuê nhà

=>\widehat{E_1}+\widehat{E_2}=90^0

hay : \widehat{DEM}=90^0

=> ED \bot  EM.